Gamma function

• Gamma function은 factorial function의 확장으로 smooth한 커브를 찾는 특징이 있다.

\[\Gamma(n) = \int^{ \infty}_{0}x^{n-1}e^{-x}dx\]

• $n$이 양의 정수일때, $\Gamma(n) = (n-1)!$이 성립하며, fatorial의 일반화한 것으로 생각할 수 있다.

Beta function

• Beta function은 gamma function의 비율($B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ )로 표현되는 2변량$(x,y)$ 함수 이다.

\[B(x,y) = \int^{1}_{0} t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt\]

• 앞선 설명된 감마함수가 factorial의 일반화 였다면, ${n\choose k} = \frac{1}{(n+1)B(n-k+1,k+1)}$의 관계식이 성립하므로 베타함수는 이항계수의 일반화로 생각할 수 있다.

Beta function과 Gamma function 관계

• 2개의 Gamma function을 곱하면,

\[\Gamma(x)\Gamma(y) = \int^{\infty}_{u=0} e^{-u}u^{x-1}du \cdot \int^{\infty}_{v=0} e^{-v}v^{y-1}dv\] \[= \int^{\infty}_{u=0} \int^{\infty}_{v=0} e^{-u-v}u^{x-1}v^{y-1}du \ dv\]

• $u=zt,\ v = z(1-t)$ 이라고 하면, $ u + v =z $ 라는 관계식이 성립한다.
  • $ 0 < u <\infty \ \text{and} \ 0 < v <\infty \rightarrow 0 < z <\infty \ \text{and} \ 0 < t <1$

\[\frac{\partial(u,v)}{\partial(z,t)} = \Biggl| \begin{array}{cc} \frac{\partial u}{\partial z} & \frac{\partial u}{\partial t} \\ \frac{\partial v}{\partial z} & \frac{\partial v}{\partial t} \\ \end{array} \Biggr| = \Biggl|\begin{array}{cc} t & z \\ 1-t & -z \\ \end{array} \Biggr| = -zt - z(1-t) = -z\] \[\Biggl| \frac{\partial(u,v)}{\partial(z,t)} \Biggl| = z\] \[\partial(u,v) = z \times \partial(z,t)\]

• 위 성질을 적용해주면,

\[\Gamma(x)\Gamma(y) =\int^{\infty}_{z=0}\int^{1}_{t=0}e^{-z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1} z \ dz \ dt\] \[=\int^{\infty}_{z=0}e^{-z}z^{x+y-1} \ \times dz \int^{1}_{t=0} t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt\] \[= \Gamma(x+y) B(x,y)\]

\[\therefore B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\]

Multivariate beta function

• 위에서 2개인자를 가진 beta함수에 대해서 살펴보았다.
• 더 많은 인자를 가질 때 beta함수는 어떻게 될까?
• 2개이상의 인자, 즉 다변량 인자를 가질 경우 아래와 같은 성질을 가진 beta 함수라고 정의 할 수 있다.

\[B(\alpha_1,\alpha_2,\ldots\alpha_n) = \frac{\Gamma(\alpha_1)\,\Gamma(\alpha_2) \cdots \Gamma(\alpha_n)}{\Gamma(\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n)}\]

• Dirichlet distribution을 구할 때, 이 bete 함수가 사용된다.

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